Theorem gpgprismgr4cyclex

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, have (at least) one cycle of length 4. (Contributed by AV, 5-Nov-2025)

	Ref	Expression
Assertion	gpgprismgr4cyclex	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ∃ 𝑝 ∃ 𝑓 ( 𝑓 ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) 𝑝 ∧ ( ♯ ‘ 𝑓 ) = 4 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s5cli	⊢ ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∈ Word V
2		s4cli	⊢ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ∈ Word V
3	1 2	pm3.2i	⊢ ( ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ∈ Word V )
4		eqid	⊢ ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ = ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩
5		eqid	⊢ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ = ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩
6		eqid	⊢ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) = ( 𝑁 gPetersenGr 1 )
7	4 5 6	gpgprismgr4cycl0	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∧ ( ♯ ‘ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) = 4 ) )
8		breq12	⊢ ( ( 𝑓 = ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ∧ 𝑝 = ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ) → ( 𝑓 ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) 𝑝 ↔ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ) )
9	8	ancoms	⊢ ( ( 𝑝 = ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) → ( 𝑓 ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) 𝑝 ↔ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ) )
10		fveqeq2	⊢ ( 𝑓 = ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ → ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) = 4 ↔ ( ♯ ‘ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) = 4 ) )
11	10	adantl	⊢ ( ( 𝑝 = ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) → ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) = 4 ↔ ( ♯ ‘ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) = 4 ) )
12	9 11	anbi12d	⊢ ( ( 𝑝 = ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) → ( ( 𝑓 ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) 𝑝 ∧ ( ♯ ‘ 𝑓 ) = 4 ) ↔ ( ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∧ ( ♯ ‘ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) = 4 ) ) )
13	12	spc2egv	⊢ ( ( ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ∈ Word V ) → ( ( ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) ⟨“ ⟨ 0 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , 0 ⟩ ”⟩ ∧ ( ♯ ‘ ⟨“ { ⟨ 0 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 1 ⟩ } { ⟨ 0 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 1 ⟩ } { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 0 ⟩ } { ⟨ 1 , 0 ⟩ , ⟨ 0 , 0 ⟩ } ”⟩ ) = 4 ) → ∃ 𝑝 ∃ 𝑓 ( 𝑓 ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) 𝑝 ∧ ( ♯ ‘ 𝑓 ) = 4 ) ) )
14	3 7 13	mpsyl	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ∃ 𝑝 ∃ 𝑓 ( 𝑓 ( Cycles ‘ ( 𝑁 gPetersenGr 1 ) ) 𝑝 ∧ ( ♯ ‘ 𝑓 ) = 4 ) )