Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
difpr |
⊢ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) = ( ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐶 } ) |
2 |
1
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) = ( ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐶 } ) ) |
3 |
2
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) ) = ( ♯ ‘ ( ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐶 } ) ) ) |
4 |
|
diffi |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∈ Fin ) |
5 |
|
necom |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
6 |
5
|
biimpi |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵 ) |
7 |
6
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ) ) |
8 |
7
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) → ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ) ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ) ) |
10 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↔ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ) ) |
11 |
9 10
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) |
12 |
|
hashdifsn |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐶 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) − 1 ) ) |
13 |
4 11 12
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ∖ { 𝐶 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) − 1 ) ) |
14 |
|
hashdifsn |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 1 ) ) |
15 |
14
|
3ad2antr1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 1 ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 1 ) − 1 ) ) |
17 |
|
hashcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
18 |
17
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
19 |
|
sub1m1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ → ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 2 ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 2 ) ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 2 ) ) |
22 |
16 21
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 2 ) ) |
23 |
3 13 22
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) − 2 ) ) |