Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hlsupr2.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
hlsupr2.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
4 |
3 1 2
|
hlsupr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) |
5 |
4
|
ex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) |
6 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
7 |
|
hlcvl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ CvLat ) |
9 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
10 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑟 ∈ 𝐴 ) |
12 |
2 3 1
|
cvlsupr3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) ) |
13 |
8 9 10 11 12
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
rexbidva |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) ) |
15 |
|
ne0i |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅ ) |
16 |
15
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ≠ ∅ ) |
17 |
|
r19.37zv |
⊢ ( 𝐴 ≠ ∅ → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) ) |
19 |
14 18
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) ) |
20 |
5 19
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) |