Theorem hodcl

Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hodcl	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodval	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) −ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) )
2		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
3	2	3adant2	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
4		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
5	4	3adant1	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
6		hvsubcl	⊢ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ∧ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) −ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℋ )
7	3 5 6	syl2anc	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) −ℎ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℋ )
8	1 7	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
9	8	3expa	⊢ ( ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )