Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
idinxpresid |
⊢ ( I ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) = ( I ↾ 𝐴 ) |
2 |
1
|
sseq1i |
⊢ ( ( I ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ⊆ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↔ ( I ↾ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ) |
3 |
|
idrefALT |
⊢ ( ( I ↾ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) |
4 |
|
brinxp2 |
⊢ ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ) |
5 |
|
pm4.24 |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
6 |
5
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ) |
7 |
4 6
|
bitr4i |
⊢ ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ) |
8 |
7
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ) |
9 |
2 3 8
|
3bitri |
⊢ ( ( I ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ⊆ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ) |
10 |
|
ralanid |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 𝑅 𝑥 ) |
11 |
9 10
|
bitri |
⊢ ( ( I ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ⊆ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 𝑅 𝑥 ) |