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Theorem ifpan23

Description: Conjunction of conditional logical operators. (Contributed by RP, 20-Apr-2020)

Ref Expression
Assertion ifpan23 ( ( if- ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ∧ if- ( 𝜑 , 𝜃 , 𝜏 ) ) ↔ if- ( 𝜑 , ( 𝜓𝜃 ) , ( 𝜒𝜏 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ifpan123g ( ( if- ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ∧ if- ( 𝜑 , 𝜃 , 𝜏 ) ) ↔ ( ( ( ¬ 𝜑𝜓 ) ∧ ( 𝜑𝜒 ) ) ∧ ( ( ¬ 𝜑𝜃 ) ∧ ( 𝜑𝜏 ) ) ) )
2 an4 ( ( ( ( ¬ 𝜑𝜓 ) ∧ ( 𝜑𝜒 ) ) ∧ ( ( ¬ 𝜑𝜃 ) ∧ ( 𝜑𝜏 ) ) ) ↔ ( ( ( ¬ 𝜑𝜓 ) ∧ ( ¬ 𝜑𝜃 ) ) ∧ ( ( 𝜑𝜒 ) ∧ ( 𝜑𝜏 ) ) ) )
3 dfifp4 ( if- ( 𝜑 , ( 𝜓𝜃 ) , ( 𝜒𝜏 ) ) ↔ ( ( ¬ 𝜑 ∨ ( 𝜓𝜃 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ ( 𝜒𝜏 ) ) ) )
4 ordi ( ( ¬ 𝜑 ∨ ( 𝜓𝜃 ) ) ↔ ( ( ¬ 𝜑𝜓 ) ∧ ( ¬ 𝜑𝜃 ) ) )
5 ordi ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜒𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝜒 ) ∧ ( 𝜑𝜏 ) ) )
6 4 5 anbi12i ( ( ( ¬ 𝜑 ∨ ( 𝜓𝜃 ) ) ∧ ( 𝜑 ∨ ( 𝜒𝜏 ) ) ) ↔ ( ( ( ¬ 𝜑𝜓 ) ∧ ( ¬ 𝜑𝜃 ) ) ∧ ( ( 𝜑𝜒 ) ∧ ( 𝜑𝜏 ) ) ) )
7 3 6 bitr2i ( ( ( ( ¬ 𝜑𝜓 ) ∧ ( ¬ 𝜑𝜃 ) ) ∧ ( ( 𝜑𝜒 ) ∧ ( 𝜑𝜏 ) ) ) ↔ if- ( 𝜑 , ( 𝜓𝜃 ) , ( 𝜒𝜏 ) ) )
8 1 2 7 3bitri ( ( if- ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ∧ if- ( 𝜑 , 𝜃 , 𝜏 ) ) ↔ if- ( 𝜑 , ( 𝜓𝜃 ) , ( 𝜒𝜏 ) ) )