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Theorem infcllem

Description: Lemma for infcl , inflb , infglb , etc. (Contributed by AV, 3-Sep-2020)

Ref Expression
Hypotheses infcl.1 ( 𝜑𝑅 Or 𝐴 )
infcl.2 ( 𝜑 → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
Assertion infcllem ( 𝜑 → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 infcl.1 ( 𝜑𝑅 Or 𝐴 )
2 infcl.2 ( 𝜑 → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
3 vex 𝑥 ∈ V
4 vex 𝑦 ∈ V
5 3 4 brcnv ( 𝑥 𝑅 𝑦𝑦 𝑅 𝑥 )
6 5 bicomi ( 𝑦 𝑅 𝑥𝑥 𝑅 𝑦 )
7 6 notbii ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 )
8 7 ralbii ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 )
9 4 3 brcnv ( 𝑦 𝑅 𝑥𝑥 𝑅 𝑦 )
10 9 bicomi ( 𝑥 𝑅 𝑦𝑦 𝑅 𝑥 )
11 vex 𝑧 ∈ V
12 4 11 brcnv ( 𝑦 𝑅 𝑧𝑧 𝑅 𝑦 )
13 12 bicomi ( 𝑧 𝑅 𝑦𝑦 𝑅 𝑧 )
14 13 rexbii ( ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ↔ ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 )
15 10 14 imbi12i ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ) ↔ ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 ) )
16 15 ralbii ( ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 ) )
17 8 16 anbi12i ( ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )
18 17 rexbii ( ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧𝐵 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )
19 2 18 sylib ( 𝜑 → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐵 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐵 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )