Theorem ioomidp

Description: The midpoint is an element of the open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Assertion	ioomidp	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ* )
2	1	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
3		rexr	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ* )
4	3	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
5		readdcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
6	5	rehalfcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ )
7	6	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ )
8		avglt1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) )
9	8	biimp3a	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) )
10		avglt2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) )
11	10	biimp3a	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 )
12	2 4 7 9 11	eliood	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )