Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isershft.1 |
⊢ 𝐹 ∈ V |
2 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
3 |
1
|
seqshft |
⊢ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → seq ( 𝑀 + 𝑁 ) ( + , ( 𝐹 shift 𝑁 ) ) = ( seq ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ) |
4 |
2 3
|
sylancom |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → seq ( 𝑀 + 𝑁 ) ( + , ( 𝐹 shift 𝑁 ) ) = ( seq ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ) |
5 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
6 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
7 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
8 |
5 6 7
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
9 |
8
|
seqeq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → seq ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ( + , 𝐹 ) = seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ) |
10 |
9
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( seq ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) = ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ) |
11 |
4 10
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → seq ( 𝑀 + 𝑁 ) ( + , ( 𝐹 shift 𝑁 ) ) = ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ) |
12 |
11
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( seq ( 𝑀 + 𝑁 ) ( + , ( 𝐹 shift 𝑁 ) ) ⇝ 𝐴 ↔ ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ⇝ 𝐴 ) ) |
13 |
|
seqex |
⊢ seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ∈ V |
14 |
|
climshft |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ∈ V ) → ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ⇝ 𝐴 ↔ seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝐴 ) ) |
15 |
13 14
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ⇝ 𝐴 ↔ seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝐴 ) ) |
16 |
15
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) shift 𝑁 ) ⇝ 𝐴 ↔ seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝐴 ) ) |
17 |
12 16
|
bitr2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ⇝ 𝐴 ↔ seq ( 𝑀 + 𝑁 ) ( + , ( 𝐹 shift 𝑁 ) ) ⇝ 𝐴 ) ) |