Theorem isose

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015)

	Ref	Expression
Assertion	isose	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ( 𝑅 Se 𝐴 ↔ 𝑆 Se 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) )
2		isof1o	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 )
3		f1ofun	⊢ ( 𝐻 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐵 → Fun 𝐻 )
4		vex	⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	funimaex	⊢ ( Fun 𝐻 → ( 𝐻 “ 𝑥 ) ∈ V )
6	2 3 5	3syl	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ( 𝐻 “ 𝑥 ) ∈ V )
7	1 6	isoselem	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ( 𝑅 Se 𝐴 → 𝑆 Se 𝐵 ) )
8		isocnv	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ◡ 𝐻 Isom 𝑆 , 𝑅 ( 𝐵 , 𝐴 ) )
9		isof1o	⊢ ( ◡ 𝐻 Isom 𝑆 , 𝑅 ( 𝐵 , 𝐴 ) → ◡ 𝐻 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 )
10		f1ofun	⊢ ( ◡ 𝐻 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐴 → Fun ◡ 𝐻 )
11	4	funimaex	⊢ ( Fun ◡ 𝐻 → ( ◡ 𝐻 “ 𝑥 ) ∈ V )
12	8 9 10 11	4syl	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ( ◡ 𝐻 “ 𝑥 ) ∈ V )
13	8 12	isoselem	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ( 𝑆 Se 𝐵 → 𝑅 Se 𝐴 ) )
14	7 13	impbid	⊢ ( 𝐻 Isom 𝑅 , 𝑆 ( 𝐴 , 𝐵 ) → ( 𝑅 Se 𝐴 ↔ 𝑆 Se 𝐵 ) )