Theorem itgcnval

Description: Decompose the integral of a complex function into real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	itgcnval.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
	itgcnval.2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
Assertion	itgcnval	⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 ( ℜ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 + ( i · ∫ 𝐴 ( ℑ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcnval.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
2		itgcnval.2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
3		eqid	⊢ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
4		eqid	⊢ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
5		eqid	⊢ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
6		eqid	⊢ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
7	3 4 5 6 1 2	itgcnlem	⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) + ( i · ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) ) ) )
8		iblmbf	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn )
9	2 8	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn )
10	9 1	mbfmptcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
11	10	recld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ℜ ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
12	10	iblcn	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
13	2 12	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ) )
14	13	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 )
15	11 14	itgrevallem1	⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( ℜ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 = ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) )
16	10	imcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ℑ ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
17	13	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 )
18	16 17	itgrevallem1	⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( ℑ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 = ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) )
19	18	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( i · ∫ 𝐴 ( ℑ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 ) = ( i · ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) ) )
20	15 19	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 ( ℜ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 + ( i · ∫ 𝐴 ( ℑ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 ) ) = ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) + ( i · ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) − ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) ) ) )
21	7 20	eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 ( ℜ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 + ( i · ∫ 𝐴 ( ℑ ‘ 𝐵 ) d 𝑥 ) ) )