Theorem itsclc0xyqsol

Description: Lemma for itsclc0 . Solutions of the quadratic equations for the coordinates of the intersection points of a (nondegenerate) line and a circle. (Contributed by AV, 25-Feb-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) )
	itsclc0yqsol.d	⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) )
Assertion	itsclc0xyqsol	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) )
2		itsclc0yqsol.d	⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) )
3	1 2	itscnhlc0xyqsol	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) )
4	3	3exp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) )
5	4	3exp	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐶 ∈ ℝ → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) ) ) )
6	5	expcom	⊢ ( 𝐴 ≠ 0 → ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐶 ∈ ℝ → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
7	6	3impd	⊢ ( 𝐴 ≠ 0 → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) ) )
8		nne	⊢ ( ¬ 𝐴 ≠ 0 ↔ 𝐴 = 0 )
9	1 2	itschlc0xyqsol	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) )
10	9	3exp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) )
11	10	expcom	⊢ ( ( 𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) ) )
12	8 11	sylanb	⊢ ( ( ¬ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) ) )
13	7 12	jaoi3	⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) ) )
14	13	impcom	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) )
15	14	3imp	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( 𝑅 ↑ 2 ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = 𝐶 ) → ( ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( 𝑋 = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ 𝑌 = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) )