Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
2 |
1
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
3 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
4 |
2 3
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
5 |
|
r19.41v |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
6 |
5
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
7 |
4 6
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
8 |
|
eluni2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ) |
9 |
8
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ) |
10 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
11 |
|
eliun |
⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ) |
12 |
11
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
13 |
12
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
14 |
10 13
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧 ) ) |
15 |
7 9 14
|
3bitr4i |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ) |
16 |
|
eliun |
⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ) |
17 |
|
eluni2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 𝑦 ∈ 𝑧 ) |
18 |
15 16 17
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ) |
19 |
18
|
eqriv |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 = ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |