Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
olmass.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
olmass.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
ollat |
⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat ) |
4 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
5 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
6 |
1 2
|
latmidm |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∧ 𝑍 ) = 𝑍 ) |
7 |
4 5 6
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∧ 𝑍 ) = 𝑍 ) |
8 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) ) |
9 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ OL ) |
10 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
11 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
12 |
1 2
|
latm4 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) ) |
13 |
9 10 11 5 5 12
|
syl122anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) ) |
14 |
8 13
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) ) |