Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
olmass.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
olmass.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
3 |
|
ollat |
|- ( K e. OL -> K e. Lat ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat ) |
5 |
|
simpr3 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B ) |
6 |
1 2
|
latmidm |
|- ( ( K e. Lat /\ Z e. B ) -> ( Z ./\ Z ) = Z ) |
7 |
4 5 6
|
syl2anc |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z ./\ Z ) = Z ) |
8 |
7
|
oveq2d |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ Z ) ) = ( ( X ./\ Y ) ./\ Z ) ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. OL ) |
10 |
|
simpr1 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B ) |
11 |
|
simpr2 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B ) |
12 |
1 2
|
latm4 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ Z ) ) = ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ Z ) ) ) |
13 |
9 10 11 5 5 12
|
syl122anc |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ ( Z ./\ Z ) ) = ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ Z ) ) ) |
14 |
8 13
|
eqtr3d |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ Z ) = ( ( X ./\ Z ) ./\ ( Y ./\ Z ) ) ) |