Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
legval.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
legval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
legval.l |
⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
legval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
6 |
|
legid.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
legid.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
8 |
1 2 3 5 6 7
|
tgbtwntriv2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) |
9 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
10 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ↔ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
13 |
10 12
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) ) |
14 |
13
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ) |
15 |
7 8 9 14
|
syl12anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ) |
16 |
1 2 3 4 5 6 7 6 7
|
legov |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ) ) |
17 |
15 16
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |