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Theorem legov

Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of Schwabhauser p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019)

Ref Expression
Hypotheses legval.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
legval.d = ( dist ‘ 𝐺 )
legval.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
legval.l = ( ≤G ‘ 𝐺 )
legval.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
legov.a ( 𝜑𝐴𝑃 )
legov.b ( 𝜑𝐵𝑃 )
legov.c ( 𝜑𝐶𝑃 )
legov.d ( 𝜑𝐷𝑃 )
Assertion legov ( 𝜑 → ( ( 𝐴 𝐵 ) ( 𝐶 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 legval.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 legval.d = ( dist ‘ 𝐺 )
3 legval.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 legval.l = ( ≤G ‘ 𝐺 )
5 legval.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
6 legov.a ( 𝜑𝐴𝑃 )
7 legov.b ( 𝜑𝐵𝑃 )
8 legov.c ( 𝜑𝐶𝑃 )
9 legov.d ( 𝜑𝐷𝑃 )
10 1 2 3 4 5 legval ( 𝜑 = { ⟨ 𝑒 , 𝑓 ⟩ ∣ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) } )
11 10 breqd ( 𝜑 → ( ( 𝐴 𝐵 ) ( 𝐶 𝐷 ) ↔ ( 𝐴 𝐵 ) { ⟨ 𝑒 , 𝑓 ⟩ ∣ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) } ( 𝐶 𝐷 ) ) )
12 ovex ( 𝐴 𝐵 ) ∈ V
13 ovex ( 𝐶 𝐷 ) ∈ V
14 simpr ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) )
15 14 eqeq1d ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ↔ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ) )
16 simpl ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) )
17 16 eqeq1d ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → ( 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ↔ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) )
18 17 anbi2d ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
19 18 rexbidv ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
20 15 19 anbi12d ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → ( ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) )
21 20 2rexbidv ( ( 𝑒 = ( 𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) )
22 eqid { ⟨ 𝑒 , 𝑓 ⟩ ∣ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) } = { ⟨ 𝑒 , 𝑓 ⟩ ∣ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) }
23 12 13 21 22 braba ( ( 𝐴 𝐵 ) { ⟨ 𝑒 , 𝑓 ⟩ ∣ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) } ( 𝐶 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
24 11 23 bitrdi ( 𝜑 → ( ( 𝐴 𝐵 ) ( 𝐶 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) )
25 anass ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) )
26 25 anbi1i ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) )
27 eqid ( cgrG ‘ 𝐺 ) = ( cgrG ‘ 𝐺 )
28 5 ad5antr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
29 28 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
30 simp-5r ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝑐𝑃 )
31 30 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝑐𝑃 )
32 simpllr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝑥𝑃 )
33 simp-4r ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝑑𝑃 )
34 33 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝑑𝑃 )
35 8 ad5antr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝐶𝑃 )
36 35 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝐶𝑃 )
37 simprl ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝑧𝑃 )
38 9 ad5antr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝐷𝑃 )
39 38 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝐷𝑃 )
40 simprr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ )
41 1 2 3 27 29 31 34 32 36 39 37 40 cgr3swap23 ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → ⟨“ 𝑐 𝑥 𝑑 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝑧 𝐷 ”⟩ )
42 simprl ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) )
43 42 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) )
44 1 2 3 27 29 31 32 34 36 37 39 41 43 tgbtwnxfr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) )
45 simplrr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) )
46 1 2 3 27 29 31 32 34 36 37 39 41 cgr3simp1 ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → ( 𝑐 𝑥 ) = ( 𝐶 𝑧 ) )
47 45 46 eqtrd ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) )
48 44 47 jca ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧𝑃 ∧ ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
49 eqid ( LineG ‘ 𝐺 ) = ( LineG ‘ 𝐺 )
50 simplr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → 𝑥𝑃 )
51 1 49 3 28 30 50 33 42 btwncolg3 ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝑐 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑥 ) ∨ 𝑐 = 𝑥 ) )
52 simpllr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) )
53 52 eqcomd ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ( 𝑐 𝑑 ) = ( 𝐶 𝐷 ) )
54 1 49 3 28 30 33 50 27 35 38 2 51 53 lnext ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ⟨“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”⟩ )
55 48 54 reximddv ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
56 55 adantllr ( ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
57 26 56 sylanbr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑥𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
58 simprr ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) )
59 eleq1w ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ) )
60 oveq2 ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑐 𝑥 ) = ( 𝑐 𝑧 ) )
61 60 eqeq2d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) )
62 59 61 anbi12d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) )
63 62 cbvrexvw ( ∃ 𝑥𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) )
64 58 63 sylibr ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑥𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑥 ) ) )
65 57 64 r19.29a ( ( ( ( 𝜑𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
66 65 adantl3r ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ 𝑑𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
67 simpr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
68 oveq1 ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑐 𝑑 ) = ( 𝑥 𝑑 ) )
69 68 eqeq2d ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ↔ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑑 ) ) )
70 oveq1 ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) = ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) )
71 70 eleq2d ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ) )
72 oveq1 ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑐 𝑧 ) = ( 𝑥 𝑧 ) )
73 72 eqeq2d ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ↔ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) )
74 71 73 anbi12d ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
75 74 rexbidv ( 𝑐 = 𝑥 → ( ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
76 69 75 anbi12d ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) )
77 oveq2 ( 𝑑 = 𝑦 → ( 𝑥 𝑑 ) = ( 𝑥 𝑦 ) )
78 77 eqeq2d ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑑 ) ↔ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ) )
79 oveq2 ( 𝑑 = 𝑦 → ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) = ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) )
80 79 eleq2d ( 𝑑 = 𝑦 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) )
81 80 anbi1d ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
82 81 rexbidv ( 𝑑 = 𝑦 → ( ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
83 78 82 anbi12d ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) )
84 76 83 cbvrex2vw ( ∃ 𝑐𝑃𝑑𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
85 67 84 sylibr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑐𝑃𝑑𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑐 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑐 𝑧 ) ) ) )
86 66 85 r19.29vva ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
87 8 adantr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) → 𝐶𝑃 )
88 9 adantr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) → 𝐷𝑃 )
89 eqidd ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) → ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝐷 ) )
90 simpr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
91 oveq1 ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 𝑦 ) = ( 𝐶 𝑦 ) )
92 91 eqeq2d ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ↔ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝑦 ) ) )
93 oveq1 ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) = ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) )
94 93 eleq2d ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ) )
95 oveq1 ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 𝑧 ) = ( 𝐶 𝑧 ) )
96 95 eqeq2d ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ↔ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) )
97 94 96 anbi12d ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )
98 97 rexbidv ( 𝑥 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )
99 92 98 anbi12d ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) ) )
100 oveq2 ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝐶 𝑦 ) = ( 𝐶 𝐷 ) )
101 100 eqeq2d ( 𝑦 = 𝐷 → ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝑦 ) ↔ ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝐷 ) ) )
102 oveq2 ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) = ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) )
103 102 eleq2d ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) )
104 103 anbi1d ( 𝑦 = 𝐷 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )
105 104 rexbidv ( 𝑦 = 𝐷 → ( ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )
106 101 105 anbi12d ( 𝑦 = 𝐷 → ( ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) ) )
107 99 106 rspc2ev ( ( 𝐶𝑃𝐷𝑃 ∧ ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝐶 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
108 87 88 89 90 107 syl112anc ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) )
109 86 108 impbida ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃 ( ( 𝐶 𝐷 ) = ( 𝑥 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝑥 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )
110 24 109 bitrd ( 𝜑 → ( ( 𝐴 𝐵 ) ( 𝐶 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑧𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐵 ) = ( 𝐶 𝑧 ) ) ) )