Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
legval.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
legval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
legval.l |
⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
legval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
6 |
|
legov.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
legov.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
legov.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
legov.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
10 |
1 2 3 4 5
|
legval |
⊢ ( 𝜑 → ≤ = { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ) |
11 |
10
|
breqd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
12 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ V |
13 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ V |
14 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
15 |
14
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ↔ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ) ) |
16 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
17 |
16
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) |
18 |
17
|
anbi2d |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
19 |
18
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
20 |
15 19
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
21 |
20
|
2rexbidv |
⊢ ( ( 𝑒 = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝑓 = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } = { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } |
23 |
12 13 21 22
|
braba |
⊢ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
24 |
11 23
|
bitrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
25 |
|
anass |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
26 |
25
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( cgrG ‘ 𝐺 ) = ( cgrG ‘ 𝐺 ) |
28 |
5
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
30 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 ) |
32 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
33 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝑑 ∈ 𝑃 ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝑑 ∈ 𝑃 ) |
35 |
8
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
37 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
38 |
9
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
40 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) |
41 |
1 2 3 27 29 31 34 32 36 39 37 40
|
cgr3swap23 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 〈“ 𝑐 𝑥 𝑑 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝑧 𝐷 ”〉 ) |
42 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ) |
44 |
1 2 3 27 29 31 32 34 36 37 39 41 43
|
tgbtwnxfr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) |
45 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) |
46 |
1 2 3 27 29 31 32 34 36 37 39 41
|
cgr3simp1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → ( 𝑐 − 𝑥 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) |
47 |
45 46
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) |
48 |
44 47
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
49 |
|
eqid |
⊢ ( LineG ‘ 𝐺 ) = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
50 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
51 |
1 49 3 28 30 50 33 42
|
btwncolg3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝑐 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑥 ) ∨ 𝑐 = 𝑥 ) ) |
52 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) |
53 |
52
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ( 𝑐 − 𝑑 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
54 |
1 49 3 28 30 33 50 27 35 38 2 51 53
|
lnext |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 〈“ 𝑐 𝑑 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐶 𝐷 𝑧 ”〉 ) |
55 |
48 54
|
reximddv |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
56 |
55
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
57 |
26 56
|
sylanbr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
58 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) |
59 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ) ) |
60 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑐 − 𝑥 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) |
61 |
60
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) |
62 |
59 61
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) |
63 |
62
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) |
64 |
58 63
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑥 ) ) ) |
65 |
57 64
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
66 |
65
|
adantl3r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
67 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
68 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑐 − 𝑑 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) |
69 |
68
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ↔ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) |
70 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) = ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ) |
71 |
70
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ) ) |
72 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑐 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) |
73 |
72
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) |
74 |
71 73
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
75 |
74
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
76 |
69 75
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
77 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( 𝑥 − 𝑑 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ) |
78 |
77
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ↔ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ) ) |
79 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) = ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) |
80 |
79
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) ) |
81 |
80
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
82 |
81
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
83 |
78 82
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
84 |
76 83
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ∃ 𝑑 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
85 |
67 84
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ∃ 𝑑 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑐 − 𝑑 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑐 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑐 − 𝑧 ) ) ) ) |
86 |
66 85
|
r19.29vva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
87 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
88 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
89 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
90 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
91 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝑦 ) ) |
92 |
91
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ↔ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝑦 ) ) ) |
93 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) = ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ) |
94 |
93
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ) ) |
95 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) |
96 |
95
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) |
97 |
94 96
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) |
98 |
97
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) |
99 |
92 98
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
100 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝐶 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
101 |
100
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝑦 ) ↔ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
102 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) = ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) |
103 |
102
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) |
104 |
103
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) |
105 |
104
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) |
106 |
101 105
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
107 |
99 106
|
rspc2ev |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
108 |
87 88 89 90 107
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
109 |
86 108
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) |
110 |
24 109
|
bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑧 ) ) ) ) |