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Theorem lnext

Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of Schwabhauser p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019)

Ref Expression
Hypotheses tglngval.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
tglngval.l 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
tglngval.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
tglngval.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
tglngval.x ( 𝜑𝑋𝑃 )
tglngval.y ( 𝜑𝑌𝑃 )
tgcolg.z ( 𝜑𝑍𝑃 )
lnxfr.r = ( cgrG ‘ 𝐺 )
lnxfr.a ( 𝜑𝐴𝑃 )
lnxfr.b ( 𝜑𝐵𝑃 )
lnxfr.d = ( dist ‘ 𝐺 )
lnext.1 ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) )
lnext.2 ( 𝜑 → ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝐴 𝐵 ) )
Assertion lnext ( 𝜑 → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tglngval.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 tglngval.l 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
3 tglngval.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 tglngval.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
5 tglngval.x ( 𝜑𝑋𝑃 )
6 tglngval.y ( 𝜑𝑌𝑃 )
7 tgcolg.z ( 𝜑𝑍𝑃 )
8 lnxfr.r = ( cgrG ‘ 𝐺 )
9 lnxfr.a ( 𝜑𝐴𝑃 )
10 lnxfr.b ( 𝜑𝐵𝑃 )
11 lnxfr.d = ( dist ‘ 𝐺 )
12 lnext.1 ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) )
13 lnext.2 ( 𝜑 → ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝐴 𝐵 ) )
14 1 11 3 4 9 10 6 7 axtgsegcon ( 𝜑 → ∃ 𝑐𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) )
15 14 adantr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) )
16 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
17 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝑋𝑃 )
18 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝑌𝑃 )
19 7 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝑍𝑃 )
20 9 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝐴𝑃 )
21 10 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝐵𝑃 )
22 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝑐𝑃 )
23 13 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝐴 𝐵 ) )
24 simprr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) )
25 24 eqcomd ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → ( 𝑌 𝑍 ) = ( 𝐵 𝑐 ) )
26 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) )
27 simprl ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) )
28 1 11 3 16 17 18 19 20 21 22 26 27 23 25 tgcgrextend ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 𝑍 ) = ( 𝐴 𝑐 ) )
29 1 11 3 16 17 19 20 22 28 tgcgrcomlr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → ( 𝑍 𝑋 ) = ( 𝑐 𝐴 ) )
30 1 11 8 16 17 18 19 20 21 22 23 25 29 trgcgr ( ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )
31 30 ex ( ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) → ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ ) )
32 31 reximdva ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ( ∃ 𝑐𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 𝑐 ) = ( 𝑌 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ ) )
33 15 32 mpd ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )
34 1 11 3 4 10 9 5 7 axtgsegcon ( 𝜑 → ∃ 𝑐𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) )
35 34 adantr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) )
36 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
37 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝑋𝑃 )
38 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝑌𝑃 )
39 7 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝑍𝑃 )
40 9 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝐴𝑃 )
41 10 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝐵𝑃 )
42 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝑐𝑃 )
43 13 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝐴 𝐵 ) )
44 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) )
45 simprl ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) )
46 1 11 3 36 37 38 40 41 43 tgcgrcomlr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ( 𝑌 𝑋 ) = ( 𝐵 𝐴 ) )
47 simprr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) )
48 47 eqcomd ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 𝑍 ) = ( 𝐴 𝑐 ) )
49 1 11 3 36 38 37 39 41 40 42 44 45 46 48 tgcgrextend ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ( 𝑌 𝑍 ) = ( 𝐵 𝑐 ) )
50 1 11 3 36 37 39 40 42 48 tgcgrcomlr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ( 𝑍 𝑋 ) = ( 𝑐 𝐴 ) )
51 1 11 8 36 37 38 39 40 41 42 43 49 50 trgcgr ( ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )
52 51 ex ( ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ ) )
53 52 reximdva ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ( ∃ 𝑐𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 𝑐 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ ) )
54 35 53 mpd ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )
55 4 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
56 5 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋𝑃 )
57 7 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍𝑃 )
58 6 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑌𝑃 )
59 9 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐴𝑃 )
60 10 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐵𝑃 )
61 simpr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
62 13 adantr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝐴 𝐵 ) )
63 1 11 3 8 55 56 57 58 59 60 61 62 tgcgrxfr ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) )
64 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
65 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝑋𝑃 )
66 7 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝑍𝑃 )
67 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝑌𝑃 )
68 9 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝐴𝑃 )
69 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝑐𝑃 )
70 10 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → 𝐵𝑃 )
71 simprr ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ )
72 1 11 3 8 64 65 66 67 68 69 70 71 cgr3swap23 ( ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )
73 72 ex ( ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐𝑃 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ ) )
74 73 reximdva ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ( ∃ 𝑐𝑃 ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”⟩ ) → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ ) )
75 63 74 mpd ( ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )
76 1 2 3 4 5 7 6 tgcolg ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) ↔ ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ) )
77 12 76 mpbid ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) )
78 33 54 75 77 mpjao3dan ( 𝜑 → ∃ 𝑐𝑃 ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”⟩ )