Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tglngval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
tglngval.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
tglngval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
tglngval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
5 |
|
tglngval.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
tglngval.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
tgcolg.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
lnxfr.r |
⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 ) |
9 |
|
lnxfr.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
lnxfr.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
lnxfr.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
12 |
|
lnext.1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) ) |
13 |
|
lnext.2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
14 |
1 11 3 4 9 10 6 7
|
axtgsegcon |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) |
16 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
17 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
18 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
19 |
7
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 ) |
20 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
21 |
10
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
22 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 ) |
23 |
13
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
24 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) |
25 |
24
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝑍 ) = ( 𝐵 − 𝑐 ) ) |
26 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) |
27 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ) |
28 |
1 11 3 16 17 18 19 20 21 22 26 27 23 25
|
tgcgrextend |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝐴 − 𝑐 ) ) |
29 |
1 11 3 16 17 19 20 22 28
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑍 − 𝑋 ) = ( 𝑐 − 𝐴 ) ) |
30 |
1 11 8 16 17 18 19 20 21 22 23 25 29
|
trgcgr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) ) → 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |
31 |
30
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) → 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) ) |
32 |
31
|
reximdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑐 ) = ( 𝑌 − 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) ) |
33 |
15 32
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |
34 |
1 11 3 4 10 9 5 7
|
axtgsegcon |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) |
35 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) |
36 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
37 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
38 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
39 |
7
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 ) |
40 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
41 |
10
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
42 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 ) |
43 |
13
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
44 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) |
45 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ) |
46 |
1 11 3 36 37 38 40 41 43
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
47 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) |
48 |
47
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝐴 − 𝑐 ) ) |
49 |
1 11 3 36 38 37 39 41 40 42 44 45 46 48
|
tgcgrextend |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝑍 ) = ( 𝐵 − 𝑐 ) ) |
50 |
1 11 3 36 37 39 40 42 48
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → ( 𝑍 − 𝑋 ) = ( 𝑐 − 𝐴 ) ) |
51 |
1 11 8 36 37 38 39 40 41 42 43 49 50
|
trgcgr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) ) → 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |
52 |
51
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) → 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) ) |
53 |
52
|
reximdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑐 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑐 ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) ) |
54 |
35 53
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |
55 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
56 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
57 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 ) |
58 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
59 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
60 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
61 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) |
62 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
63 |
1 11 3 8 55 56 57 58 59 60 61 62
|
tgcgrxfr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) |
64 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
65 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
66 |
7
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 ) |
67 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
68 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
69 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 ) |
70 |
10
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
71 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) |
72 |
1 11 3 8 64 65 66 67 68 69 70 71
|
cgr3swap23 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) ) → 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |
73 |
72
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) → 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) ) |
74 |
73
|
reximdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝑐 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ 〈“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝑐 𝐵 ”〉 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) ) |
75 |
63 74
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |
76 |
1 2 3 4 5 7 6
|
tgcolg |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) ↔ ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ) ) |
77 |
12 76
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ) |
78 |
33 54 75 77
|
mpjao3dan |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 〈“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”〉 ∼ 〈“ 𝐴 𝐵 𝑐 ”〉 ) |