Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
legval.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
legval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
legval.l |
⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
legval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
6 |
|
elex |
⊢ ( 𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V ) |
7 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → 𝑝 = 𝑃 ) |
8 |
7
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → 𝑃 = 𝑝 ) |
9 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → 𝑑 = − ) |
10 |
9
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → − = 𝑑 ) |
11 |
10
|
oveqd |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ↔ 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ) ) |
13 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → 𝑖 = 𝐼 ) |
14 |
13
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → 𝐼 = 𝑖 ) |
15 |
14
|
oveqd |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) = ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ) |
16 |
15
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ) ) |
17 |
10
|
oveqd |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) |
18 |
17
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ↔ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) |
19 |
16 18
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) ) |
20 |
8 19
|
rexeqbidv |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) ) |
21 |
12 20
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) ) ) |
22 |
8 21
|
rexeqbidv |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑝 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) ) ) |
23 |
8 22
|
rexeqbidv |
⊢ ( ( 𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑑 = − ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑝 ∃ 𝑦 ∈ 𝑝 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) ) ) |
24 |
1 2 3 23
|
sbcie3s |
⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( [ ( Base ‘ 𝑔 ) / 𝑝 ] [ ( dist ‘ 𝑔 ) / 𝑑 ] [ ( Itv ‘ 𝑔 ) / 𝑖 ] ∃ 𝑥 ∈ 𝑝 ∃ 𝑦 ∈ 𝑝 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
25 |
24
|
opabbidv |
⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ [ ( Base ‘ 𝑔 ) / 𝑝 ] [ ( dist ‘ 𝑔 ) / 𝑑 ] [ ( Itv ‘ 𝑔 ) / 𝑖 ] ∃ 𝑥 ∈ 𝑝 ∃ 𝑦 ∈ 𝑝 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) } = { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ) |
26 |
|
df-leg |
⊢ ≤G = ( 𝑔 ∈ V ↦ { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ [ ( Base ‘ 𝑔 ) / 𝑝 ] [ ( dist ‘ 𝑔 ) / 𝑑 ] [ ( Itv ‘ 𝑔 ) / 𝑖 ] ∃ 𝑥 ∈ 𝑝 ∃ 𝑦 ∈ 𝑝 ( 𝑓 = ( 𝑥 𝑑 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑝 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 𝑑 𝑧 ) ) ) } ) |
27 |
2
|
fvexi |
⊢ − ∈ V |
28 |
27
|
imaex |
⊢ ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∈ V |
29 |
|
p0ex |
⊢ { ∅ } ∈ V |
30 |
28 29
|
unex |
⊢ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∈ V |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∈ V ) |
32 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) |
33 |
|
ovima0 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑥 − 𝑑 ) ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
34 |
33
|
ad5ant14 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑑 ) ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
35 |
32 34
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
36 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) |
37 |
36
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ) |
38 |
|
ovima0 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
39 |
38
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
40 |
37 39
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
41 |
35 40
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) ) |
42 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) |
43 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) ) |
44 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) |
45 |
44
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ↔ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) |
46 |
43 45
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) ) |
47 |
46
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ 𝑃 ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) |
48 |
42 47
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ 𝑃 ( 𝑑 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑑 ) ) ) |
49 |
41 48
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) ) |
50 |
49
|
ex |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) ) ) |
51 |
50
|
rexlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) ) |
52 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) ) |
53 |
52
|
simpld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
54 |
52
|
simprd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( ( − “ ( 𝑃 × 𝑃 ) ) ∪ { ∅ } ) ) |
55 |
31 31 53 54
|
opabex2 |
⊢ ( ⊤ → { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ∈ V ) |
56 |
55
|
mptru |
⊢ { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ∈ V |
57 |
25 26 56
|
fvmpt |
⊢ ( 𝐺 ∈ V → ( ≤G ‘ 𝐺 ) = { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ) |
58 |
5 6 57
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ≤G ‘ 𝐺 ) = { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ) |
59 |
4 58
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ≤ = { 〈 𝑒 , 𝑓 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑓 = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝑒 = ( 𝑥 − 𝑧 ) ) ) } ) |