Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lmodnegadd.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
lmodnegadd.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
lmodnegadd.t |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
lmodnegadd.n |
⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
lmodnegadd.r |
⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) |
6 |
|
lmodnegadd.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
7 |
|
lmodnegadd.i |
⊢ 𝐼 = ( invg ‘ 𝑅 ) |
8 |
|
lmodnegadd.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LMod ) |
9 |
|
lmodnegadd.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾 ) |
10 |
|
lmodnegadd.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾 ) |
11 |
|
lmodnegadd.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
12 |
|
lmodnegadd.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
13 |
|
lmodabl |
⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel ) |
14 |
8 13
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Abel ) |
15 |
1 5 3 6
|
lmodvscl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐴 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ) |
16 |
8 9 11 15
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ) |
17 |
1 5 3 6
|
lmodvscl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐵 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) |
18 |
8 10 12 17
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) |
19 |
1 2 4
|
ablinvadd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Abel ∧ ( 𝐴 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐵 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 · 𝑌 ) ) ) ) |
20 |
14 16 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 · 𝑌 ) ) ) ) |
21 |
1 5 3 4 6 7 8 11 9
|
lmodvsneg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝐴 ) · 𝑋 ) ) |
22 |
1 5 3 4 6 7 8 12 10
|
lmodvsneg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝐵 ) · 𝑌 ) ) |
23 |
21 22
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 · 𝑌 ) ) ) = ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐴 ) · 𝑋 ) + ( ( 𝐼 ‘ 𝐵 ) · 𝑌 ) ) ) |
24 |
20 23
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑋 ) + ( 𝐵 · 𝑌 ) ) ) = ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐴 ) · 𝑋 ) + ( ( 𝐼 ‘ 𝐵 ) · 𝑌 ) ) ) |