Theorem lnid

Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of Schwabhauser p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.r	⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 )
	lnxfr.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	lnid.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
	lnid.2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) )
	lnid.3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) )
	lnid.4	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − 𝑍 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) )
Assertion	lnid	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 = 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
3		tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
6		tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
7		tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
8		lnxfr.r	⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 )
9		lnxfr.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
10		lnxfr.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
11		lnxfr.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
12		lnid.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
13		lnid.2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) )
14		lnid.3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) )
15		lnid.4	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − 𝑍 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) )
16	1 2 3 4 5 6 7 8 7 9 11 12 13 14 15	lncgr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 − 𝑍 ) = ( 𝑍 − 𝐴 ) )
17	16	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 − 𝐴 ) = ( 𝑍 − 𝑍 ) )
18	1 11 3 4 7 9 7 17	axtgcgrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 = 𝐴 )