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Theorem lnid

Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of Schwabhauser p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019)

Ref Expression
Hypotheses tglngval.p P = Base G
tglngval.l L = Line 𝒢 G
tglngval.i I = Itv G
tglngval.g φ G 𝒢 Tarski
tglngval.x φ X P
tglngval.y φ Y P
tgcolg.z φ Z P
lnxfr.r ˙ = 𝒢 G
lnxfr.a φ A P
lnxfr.b φ B P
lnxfr.d - ˙ = dist G
lnid.1 φ X Y
lnid.2 φ Y X L Z X = Z
lnid.3 φ X - ˙ Z = X - ˙ A
lnid.4 φ Y - ˙ Z = Y - ˙ A
Assertion lnid φ Z = A

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tglngval.p P = Base G
2 tglngval.l L = Line 𝒢 G
3 tglngval.i I = Itv G
4 tglngval.g φ G 𝒢 Tarski
5 tglngval.x φ X P
6 tglngval.y φ Y P
7 tgcolg.z φ Z P
8 lnxfr.r ˙ = 𝒢 G
9 lnxfr.a φ A P
10 lnxfr.b φ B P
11 lnxfr.d - ˙ = dist G
12 lnid.1 φ X Y
13 lnid.2 φ Y X L Z X = Z
14 lnid.3 φ X - ˙ Z = X - ˙ A
15 lnid.4 φ Y - ˙ Z = Y - ˙ A
16 1 2 3 4 5 6 7 8 7 9 11 12 13 14 15 lncgr φ Z - ˙ Z = Z - ˙ A
17 16 eqcomd φ Z - ˙ A = Z - ˙ Z
18 1 11 3 4 7 9 7 17 axtgcgrid φ Z = A