Theorem mapdord

Description: Ordering property of the map defined by df-mapd . Property (b) of Baer p. 40. (Contributed by NM, 27-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	mapdord.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	mapdord.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdord.s	⊢ 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑈 )
	mapdord.m	⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdord.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
	mapdord.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆 )
	mapdord.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆 )
Assertion	mapdord	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ⊆ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdord.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		mapdord.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3		mapdord.s	⊢ 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑈 )
4		mapdord.m	⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5		mapdord.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
6		mapdord.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆 )
7		mapdord.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆 )
8		eqid	⊢ ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		eqid	⊢ ( LSAtoms ‘ 𝑈 ) = ( LSAtoms ‘ 𝑈 )
10		eqid	⊢ ( LFnl ‘ 𝑈 ) = ( LFnl ‘ 𝑈 )
11		eqid	⊢ ( LSHyp ‘ 𝑈 ) = ( LSHyp ‘ 𝑈 )
12		eqid	⊢ ( LKer ‘ 𝑈 ) = ( LKer ‘ 𝑈 )
13		eqid	⊢ { 𝑔 ∈ ( LFnl ‘ 𝑈 ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( LKer ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ∈ ( LSHyp ‘ 𝑈 ) } = { 𝑔 ∈ ( LFnl ‘ 𝑈 ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( LKer ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) ) ∈ ( LSHyp ‘ 𝑈 ) }
14		eqid	⊢ { 𝑔 ∈ ( LFnl ‘ 𝑈 ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( LKer ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) ) = ( ( LKer ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) } = { 𝑔 ∈ ( LFnl ‘ 𝑈 ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( LKer ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) ) = ( ( LKer ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) }
15	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	mapdordlem2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ⊆ ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌 ) )