Theorem mirbtwn

Description: Property of the image by the point inversion function. Definition 7.5 of Schwabhauser p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
	mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	mirval.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	mirfv.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐴 )
	mirfv.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
Assertion	mirbtwn	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5		mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
6		mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
7		mirval.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
8		mirfv.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐴 )
9		mirfv.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
10	1 2 3 4 5 6 7 8 9	mirfv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) ) )
11	1 2 3 6 9 7	mirreu3	⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) )
12		riotacl2	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) ) ∈ { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) } )
13	11 12	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) ) ∈ { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) } )
14	10 13	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ∈ { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) } )
15		oveq2	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) → ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ) )
16	15	eqeq1d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) → ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ↔ ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
17		oveq1	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) → ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) )
18	17	eleq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ↔ 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) ) )
19	16 18	anbi12d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) ) ) )
20	19	elrab	⊢ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ∈ { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐵 ) ) } ↔ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) ) ) )
21	14 20	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ∈ 𝑃 ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) ) ) )
22	21	simprrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐵 ) 𝐼 𝐵 ) )