Theorem modabs

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008)

	Ref	Expression
Assertion	modabs	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) mod 𝐶 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ )
2	1	anim1i	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) )
3	2	3impa	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) )
4	3	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) )
5		modge0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
6	5	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
7	6	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
8	1	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ )
9	8	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ )
10		rpre	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ )
11	10	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
12	11	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
13		rpre	⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ )
14	13	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
15	14	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
16		modlt	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) < 𝐵 )
17	16	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) < 𝐵 )
18	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) < 𝐵 )
19		simpr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → 𝐵 ≤ 𝐶 )
20	9 12 15 18 19	ltletrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) < 𝐶 )
21		modid	⊢ ( ( ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 mod 𝐵 ) < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) mod 𝐶 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
22	4 7 20 21	syl12anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( ( 𝐴 mod 𝐵 ) mod 𝐶 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )