Theorem modge0

Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by NM, 10-Nov-2008)

	Ref	Expression
Assertion	modge0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldivle	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) )
2		refldivcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
3		simpl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4		rpregt0	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) )
5	4	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) )
6		lemuldiv2	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ↔ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) )
7	2 3 5 6	syl3anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ↔ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) )
8	1 7	mpbird	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 )
9		rpre	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ )
10	9	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
11	10 2	remulcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ )
12		subge0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ↔ ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ) )
13	11 12	syldan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 0 ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ↔ ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ≤ 𝐴 ) )
14	8 13	mpbird	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
15		modval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
16	14 15	breqtrrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝐴 mod 𝐵 ) )