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Theorem mplsubglem2

Description: Lemma for mplsubg and mpllss . (Contributed by AV, 16-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses mplsubg.s 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 )
mplsubg.p 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
mplsubg.u 𝑈 = ( Base ‘ 𝑃 )
mplsubg.i ( 𝜑𝐼𝑊 )
Assertion mplsubglem2 ( 𝜑𝑈 = { 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ∣ ( 𝑔 supp ( 0g𝑅 ) ) ∈ Fin } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mplsubg.s 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 )
2 mplsubg.p 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
3 mplsubg.u 𝑈 = ( Base ‘ 𝑃 )
4 mplsubg.i ( 𝜑𝐼𝑊 )
5 eqid ( Base ‘ 𝑆 ) = ( Base ‘ 𝑆 )
6 eqid ( 0g𝑅 ) = ( 0g𝑅 )
7 2 1 5 6 3 mplbas 𝑈 = { 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ∣ 𝑔 finSupp ( 0g𝑅 ) }
8 1 5 psrelbasfun ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) → Fun 𝑔 )
9 8 adantl ( ( 𝜑𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ) → Fun 𝑔 )
10 simpr ( ( 𝜑𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ) → 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) )
11 fvexd ( ( 𝜑𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ) → ( 0g𝑅 ) ∈ V )
12 funisfsupp ( ( Fun 𝑔𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ∧ ( 0g𝑅 ) ∈ V ) → ( 𝑔 finSupp ( 0g𝑅 ) ↔ ( 𝑔 supp ( 0g𝑅 ) ) ∈ Fin ) )
13 9 10 11 12 syl3anc ( ( 𝜑𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑔 finSupp ( 0g𝑅 ) ↔ ( 𝑔 supp ( 0g𝑅 ) ) ∈ Fin ) )
14 13 rabbidva ( 𝜑 → { 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ∣ 𝑔 finSupp ( 0g𝑅 ) } = { 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ∣ ( 𝑔 supp ( 0g𝑅 ) ) ∈ Fin } )
15 7 14 syl5eq ( 𝜑𝑈 = { 𝑔 ∈ ( Base ‘ 𝑆 ) ∣ ( 𝑔 supp ( 0g𝑅 ) ) ∈ Fin } )