Theorem mul4

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 8-Oct-1999)

	Ref	Expression
Assertion	mul4	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · ( 𝐶 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul32	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) )
2	1	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) · 𝐷 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) )
3	2	3expa	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) · 𝐷 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) )
4	3	adantrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) · 𝐷 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) )
5		mulcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
6		mulass	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
7	6	3expb	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
8	5 7	sylan	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
9		mulcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
10		mulass	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
11	10	3expb	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
12	9 11	sylan	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
13	12	an4s	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝐵 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
14	4 8 13	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · ( 𝐶 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )