Theorem nn0eo

Description: A nonnegative integer is even or odd. (Contributed by AV, 27-May-2020)

	Ref	Expression
Assertion	nn0eo	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℕ0 ∨ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ )
2		zeo	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) )
3	1 2	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) )
4		simpr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ )
5		nn0re	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ )
6		nn0ge0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁 )
7		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ )
9		2pos	⊢ 0 < 2
10	9	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2 )
11		divge0	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁 ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 ≤ ( 𝑁 / 2 ) )
12	5 6 8 10 11	syl22anc	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑁 / 2 ) )
13	12	adantr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ) → 0 ≤ ( 𝑁 / 2 ) )
14		elnn0z	⊢ ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 / 2 ) ) )
15	4 13 14	sylanbrc	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℕ0 )
16	15	ex	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ → ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℕ0 ) )
17		simpr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ )
18		peano2nn0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
19	18	nn0red	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ )
20		1red	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ )
21		0le1	⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1 )
23	5 20 6 22	addge0d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑁 + 1 ) )
24		divge0	⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) )
25	19 23 8 10 24	syl22anc	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) )
26	25	adantr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) )
27		elnn0z	⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) )
28	17 26 27	sylanbrc	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 )
29	28	ex	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) )
30	16 29	orim12d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℕ0 ∨ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ) )
31	3 30	mpd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 / 2 ) ∈ ℕ0 ∨ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) )