Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nn0o |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
2 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
3 |
|
xp1d2m1eqxm1d2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |
4 |
3
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) |
5 |
2 4
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) |
6 |
|
peano2cnm |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ) |
7 |
2 6
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ) |
8 |
7
|
halfcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
9 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ ) |
10 |
|
peano2nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
11 |
10
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
12 |
11
|
halfcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
13 |
8 9 12
|
addlsub |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) ) |
14 |
5 13
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) |
16 |
|
peano2nn0 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
18 |
15 17
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
19 |
1 18
|
impbida |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |