Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
2 |
1
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
3 |
|
sub32 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − 𝐵 ) ) |
4 |
2 3
|
syld3an3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − 𝐵 ) ) |
5 |
|
nncan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = 𝐶 ) |
6 |
5
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = 𝐶 ) |
7 |
6
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
8 |
4 7
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |