Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
omlmod.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
omlmod.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
omlmod.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
omlmod.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
omlmod.c |
⊢ 𝐶 = ( cm ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝐾 ∈ OML ) |
7 |
|
simp23 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
simp21 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
9 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
10 |
|
simp3l |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑋 ≤ 𝑍 ) |
11 |
1 2 5
|
lecmtN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋 𝐶 𝑍 ) ) |
12 |
6 8 7 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋 𝐶 𝑍 ) ) |
13 |
10 12
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑋 𝐶 𝑍 ) |
14 |
1 5
|
cmtcomN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 𝐶 𝑍 ↔ 𝑍 𝐶 𝑋 ) ) |
15 |
6 8 7 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑋 𝐶 𝑍 ↔ 𝑍 𝐶 𝑋 ) ) |
16 |
13 15
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑍 𝐶 𝑋 ) |
17 |
|
simp3r |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑌 𝐶 𝑍 ) |
18 |
1 5
|
cmtcomN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 𝐶 𝑍 ↔ 𝑍 𝐶 𝑌 ) ) |
19 |
6 9 7 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑌 𝐶 𝑍 ↔ 𝑍 𝐶 𝑌 ) ) |
20 |
17 19
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝑍 𝐶 𝑌 ) |
21 |
1 3 4 5
|
omlfh1N |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 𝐶 𝑋 ∧ 𝑍 𝐶 𝑌 ) ) → ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∨ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) ) |
22 |
6 7 8 9 16 20 21
|
syl132anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∨ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) ) |
23 |
|
omllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat ) |
24 |
23
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
25 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
26 |
24 8 9 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
27 |
1 4
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) ) |
28 |
24 7 26 27
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) ) |
29 |
1 2 4
|
latleeqm2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ≤ 𝑍 ↔ ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) = 𝑋 ) ) |
30 |
24 8 7 29
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑍 ↔ ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) = 𝑋 ) ) |
31 |
10 30
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
32 |
1 4
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) |
33 |
24 7 9 32
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) |
34 |
31 33
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∨ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) ) |
35 |
22 28 34
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 𝐶 𝑍 ) ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) ) |