Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elopab |
⊢ ( 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 〈 𝑢 , 𝑣 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
2 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
4 |
2 3
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ↔ ( 𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣 ) ) |
5 |
|
eqcom |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ↔ 〈 𝑢 , 𝑣 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
6 |
4 5
|
bitr3i |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣 ) ↔ 〈 𝑢 , 𝑣 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
7 |
6
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝑢 , 𝑣 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
8 |
7
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( ( 𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 〈 𝑢 , 𝑣 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
9 |
1 8
|
bitr4i |
⊢ ( 〈 𝑢 , 𝑣 〉 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( ( 𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣 ) ∧ 𝜑 ) ) |