Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
⊢ 𝑎 ∈ V |
2 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
3 |
1 2
|
pm3.2i |
⊢ ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ) |
4 |
3
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ) ) |
5 |
4
|
anim1ci |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑏 ) ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
7 |
|
sbcid |
⊢ ( [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
8 |
|
sbcid |
⊢ ( [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ 𝜑 ) |
9 |
7 8
|
sylbbr |
⊢ ( 𝜑 → [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝜑 ) → [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
11 |
|
opeq12 |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑏 ) → 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) |
12 |
10 11
|
anim12ci |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑏 ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
13 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
14 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
15 |
|
opeq12 |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) |
16 |
15
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) |
17 |
|
dfsbcq |
⊢ ( 𝑦 = 𝑏 → ( [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
18 |
|
dfsbcq |
⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
19 |
18
|
sbcbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
20 |
17 19
|
sylan9bbr |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
21 |
16 20
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
22 |
21
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) → ( ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
23 |
13 14 22
|
spc2ed |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → ( ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑏 / 𝑏 ] [ 𝑎 / 𝑎 ] 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
24 |
6 12 23
|
sylc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑏 ) ) → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
25 |
24
|
exp31 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑏 ) → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) ) |
26 |
25
|
com23 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑏 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑏 ] [ 𝑥 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) ) |