Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
remulcan2d.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
remulcan2d.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
remulcan2d.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
4 |
|
remulcan2d.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 0 ) |
5 |
|
ax-rrecex |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) |
6 |
3 4 5
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) |
7 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) · 𝑥 ) ) |
8 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
10 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
12 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
14 |
9 11 13
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = ( 𝐴 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ) |
15 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) |
16 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 𝐴 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) = ( 𝐴 · 1 ) ) |
17 |
|
ax-1rid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 ) |
18 |
8 17
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 ) |
19 |
14 16 18
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = 𝐴 ) |
20 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
22 |
21 11 13
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ) |
23 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) = ( 𝐵 · 1 ) ) |
24 |
|
ax-1rid |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐵 · 1 ) = 𝐵 ) |
25 |
20 24
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 𝐵 · 1 ) = 𝐵 ) |
26 |
22 23 25
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = 𝐵 ) |
27 |
19 26
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) · 𝑥 ) ↔ 𝐴 = 𝐵 ) ) |
28 |
7 27
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) → 𝐴 = 𝐵 ) ) |
29 |
6 28
|
rexlimddv |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) → 𝐴 = 𝐵 ) ) |
30 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ) |
31 |
29 30
|
impbid1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ 𝐴 = 𝐵 ) ) |