Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
repnpcan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ ( 𝐴 + 𝐶 ) ) = ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) |
2 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
3 |
2
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
6 |
|
rersubcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
8 |
3 5 7
|
resubaddd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ ( 𝐴 + 𝐶 ) ) = ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐶 ) + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) |
9 |
1 8
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐶 ) + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ) |