Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
addcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
2 |
1
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
3 |
2
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
4 |
|
addcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
5 |
4
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
6 |
|
subsub2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
7 |
5 6
|
syld3an1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
8 |
|
pnncan |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 + 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐶 ) ) |
9 |
8
|
3com12 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 + 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐶 ) ) |
10 |
3 7 9
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = ( 𝐴 + 𝐶 ) ) |