Theorem addsub4

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by NM, 4-Mar-2005)

	Ref	Expression
Assertion	addsub4	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + ( 𝐵 − 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
2		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
3		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
4		addsub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + 𝐵 ) )
5	1 2 3 4	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + 𝐵 ) )
6	5	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝐶 ) − 𝐷 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + 𝐵 ) − 𝐷 ) )
7	1 2	addcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ )
8		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐷 ∈ ℂ )
9		subsub4	⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝐶 ) − 𝐷 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
10	7 3 8 9	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝐶 ) − 𝐷 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
11		subcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
12	11	ad2ant2r	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
13		addsubass	⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + 𝐵 ) − 𝐷 ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + ( 𝐵 − 𝐷 ) ) )
14	12 2 8 13	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + 𝐵 ) − 𝐷 ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + ( 𝐵 − 𝐷 ) ) )
15	6 10 14	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) + ( 𝐵 − 𝐷 ) ) )