Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
2 |
|
subsub2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
3 |
2
|
3expb |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
4 |
1 3
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
5 |
|
addsub4 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
6 |
5
|
an42s |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
7 |
4 6
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ) |