Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-res |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↾ 𝐴 ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ∩ ( 𝐴 × V ) ) |
2 |
|
df-xp |
⊢ ( 𝐴 × V ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ V ) } |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
4 |
3
|
biantru |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ V ) ) |
5 |
4
|
opabbii |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ V ) } |
6 |
2 5
|
eqtr4i |
⊢ ( 𝐴 × V ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } |
7 |
6
|
ineq2i |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ∩ ( 𝐴 × V ) ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ∩ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } ) |
8 |
|
incom |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ∩ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } ∩ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ) |
9 |
7 8
|
eqtri |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ∩ ( 𝐴 × V ) ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } ∩ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ) |
10 |
|
inopab |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 } ∩ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } |
11 |
9 10
|
eqtri |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ∩ ( 𝐴 × V ) ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } |
12 |
1 11
|
eqtri |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ↾ 𝐴 ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } |