Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
2 |
1
|
elrn |
⊢ ( 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ↔ ∃ 𝑤 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 ) |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑤 ∈ V |
4 |
3 1
|
breldm |
⊢ ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑤 ∈ dom tpos 𝐹 ) |
5 |
|
dmtpos |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = ◡ dom 𝐹 ) |
6 |
5
|
eleq2d |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ 𝑤 ∈ ◡ dom 𝐹 ) ) |
7 |
4 6
|
syl5ib |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑤 ∈ ◡ dom 𝐹 ) ) |
8 |
|
relcnv |
⊢ Rel ◡ dom 𝐹 |
9 |
|
elrel |
⊢ ( ( Rel ◡ dom 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ ◡ dom 𝐹 ) → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
10 |
8 9
|
mpan |
⊢ ( 𝑤 ∈ ◡ dom 𝐹 → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
11 |
7 10
|
syl6 |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
12 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
13 |
|
brtpos |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
14 |
13
|
elv |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) |
15 |
12 14
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
16 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∈ V |
17 |
16 1
|
brelrn |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) |
18 |
15 17
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) ) |
19 |
18
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) ) |
20 |
11 19
|
syli |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) ) |
21 |
20
|
exlimdv |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( ∃ 𝑤 𝑤 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) ) |
22 |
2 21
|
syl5bi |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 → 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) ) |
23 |
1
|
elrn |
⊢ ( 𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃ 𝑤 𝑤 𝐹 𝑧 ) |
24 |
3 1
|
breldm |
⊢ ( 𝑤 𝐹 𝑧 → 𝑤 ∈ dom 𝐹 ) |
25 |
|
elrel |
⊢ ( ( Rel dom 𝐹 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝐹 ) → ∃ 𝑦 ∃ 𝑥 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) |
26 |
25
|
ex |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 ∈ dom 𝐹 → ∃ 𝑦 ∃ 𝑥 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) ) |
27 |
24 26
|
syl5 |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 → ∃ 𝑦 ∃ 𝑥 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) ) |
28 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 𝐹 𝑧 ) ) |
29 |
28 14
|
bitr4di |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 ) ) |
30 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ V |
31 |
30 1
|
brelrn |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 tpos 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ) |
32 |
29 31
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ) ) |
33 |
32
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑥 𝑤 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ) ) |
34 |
27 33
|
syli |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ) ) |
35 |
34
|
exlimdv |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( ∃ 𝑤 𝑤 𝐹 𝑧 → 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ) ) |
36 |
23 35
|
syl5bi |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑧 ∈ ran 𝐹 → 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ) ) |
37 |
22 36
|
impbid |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ( 𝑧 ∈ ran tpos 𝐹 ↔ 𝑧 ∈ ran 𝐹 ) ) |
38 |
37
|
eqrdv |
⊢ ( Rel dom 𝐹 → ran tpos 𝐹 = ran 𝐹 ) |