Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1oun2prg |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
2 |
1
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
4 |
|
s4prop |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) ) |
6 |
5
|
eqeq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) → ( 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ↔ 𝐸 = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) ) ) |
7 |
6
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ) → 𝐸 = ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) ) |
8 |
7
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) = 𝐸 ) |
9 |
8
|
f1oeq1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ) → ( ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 2 , 𝐶 〉 , 〈 3 , 𝐷 〉 } ) : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ↔ 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
10 |
3 9
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ) → 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
11 |
|
dff1o5 |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ↔ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
12 |
|
dff12 |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ↔ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ) |
13 |
12
|
bicomi |
⊢ ( ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ↔ 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
14 |
13
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ↔ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
15 |
11 14
|
sylbb2 |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) → ( ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
16 |
|
ffdm |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) → ( 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ dom 𝐸 ⊆ ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ) ) |
17 |
16
|
simpld |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) → 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
18 |
17
|
anim1i |
⊢ ( ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) → ( 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ) |
19 |
18
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
20 |
15 19
|
syl |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
21 |
|
dff12 |
⊢ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ↔ ( 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ) |
22 |
21
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ↔ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 ⟶ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ∀ 𝑦 ∃* 𝑥 𝑥 𝐸 𝑦 ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
23 |
20 22
|
sylibr |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) → ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
24 |
|
dff1o5 |
⊢ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ↔ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ ran 𝐸 = ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) |
25 |
23 24
|
sylibr |
⊢ ( 𝐸 : ( { 0 , 1 } ∪ { 2 , 3 } ) –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
26 |
10 25
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 ) → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
27 |
26
|
exp31 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → ( 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∪ { 𝐶 , 𝐷 } ) ) ) ) |