Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sge0gerpmpt.xph |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑 |
2 |
|
sge0gerpmpt.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
sge0gerpmpt.b |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
4 |
|
sge0gerpmpt.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
5 |
|
sge0gerpmpt.rp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) |
7 |
1 3 6
|
fmptdf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) : 𝐴 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
8 |
|
elpwinss |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑧 ⊆ 𝐴 ) |
9 |
8
|
resmptd |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) |
10 |
9
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) = ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) |
11 |
10
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) = ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) +𝑒 𝑦 ) = ( ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) |
13 |
12
|
breq2d |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) +𝑒 𝑦 ) ↔ 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) ) |
14 |
13
|
biimpd |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → ( 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) +𝑒 𝑦 ) → 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) ) |
15 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) +𝑒 𝑦 ) → 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) ) |
16 |
15
|
reximdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵 ) ) +𝑒 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) ) |
17 |
5 16
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝐶 ≤ ( ( Σ^ ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ↾ 𝑧 ) ) +𝑒 𝑦 ) ) |
18 |
2 7 4 17
|
sge0gerp |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ ( Σ^ ‘ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ) ) |