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Theorem slmdvsass

Description: Associative law for scalar product. ( ax-hvmulass analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

Ref Expression
Hypotheses slmdvsass.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
slmdvsass.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
slmdvsass.s · = ( ·𝑠𝑊 )
slmdvsass.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
slmdvsass.t × = ( .r𝐹 )
Assertion slmdvsass ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 slmdvsass.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 slmdvsass.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
3 slmdvsass.s · = ( ·𝑠𝑊 )
4 slmdvsass.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
5 slmdvsass.t × = ( .r𝐹 )
6 eqid ( +g𝑊 ) = ( +g𝑊 )
7 eqid ( 0g𝑊 ) = ( 0g𝑊 )
8 eqid ( +g𝐹 ) = ( +g𝐹 )
9 eqid ( 1r𝐹 ) = ( 1r𝐹 )
10 eqid ( 0g𝐹 ) = ( 0g𝐹 )
11 1 6 3 7 2 4 8 5 9 10 slmdlema ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 ( +g𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ( +g𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) ( +g𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g𝑊 ) ) ) )
12 11 simprd ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g𝑊 ) ) )
13 12 simp1d ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
14 13 3expa ( ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
15 14 anabsan2 ( ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ) ∧ 𝑋𝑉 ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
16 15 exp42 ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑄𝐾 → ( 𝑅𝐾 → ( 𝑋𝑉 → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
17 16 3imp2 ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )