Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfvex |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → 𝑉 ∈ V ) |
2 |
|
sprvalpw |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → ( Pairs ‘ 𝑉 ) = { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) |
3 |
2
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → ( 𝑋 ∈ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ↔ 𝑋 ∈ { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) ) |
4 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑝 = 𝑋 → ( 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ 𝑋 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
5 |
4
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑝 = 𝑋 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑋 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
6 |
5
|
elrab |
⊢ ( 𝑋 ∈ { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ↔ ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑋 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
7 |
6
|
simprbi |
⊢ ( 𝑋 ∈ { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } → ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑋 = { 𝑎 , 𝑏 } ) |
8 |
3 7
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → ( 𝑋 ∈ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑋 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
9 |
1 8
|
mpcom |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑋 = { 𝑎 , 𝑏 } ) |