Theorem sprvalpw

Description: The set of all unordered pairs over a given set V , expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 21-Nov-2021)

	Ref	Expression
Assertion	sprvalpw	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( Pairs ‘ 𝑉 ) = { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( Pairs ‘ 𝑉 ) = { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } )
2		prssi	⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → { 𝑎 , 𝑏 } ⊆ 𝑉 )
3		eleq1	⊢ ( 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → ( 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝒫 𝑉 ) )
4		prex	⊢ { 𝑎 , 𝑏 } ∈ V
5	4	elpw	⊢ ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝒫 𝑉 ↔ { 𝑎 , 𝑏 } ⊆ 𝑉 )
6	3 5	bitrdi	⊢ ( 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → ( 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ { 𝑎 , 𝑏 } ⊆ 𝑉 ) )
7	2 6	syl5ibrcom	⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ) )
8	7	rexlimivv	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 )
9	8	pm4.71ri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ ( 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) )
10	9	a1i	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ ( 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) )
11	10	abbidv	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } = { 𝑝 ∣ ( 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) } )
12		df-rab	⊢ { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } = { 𝑝 ∣ ( 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) }
13	11 12	eqtr4di	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } = { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } )
14	1 13	eqtrd	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( Pairs ‘ 𝑉 ) = { 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } )