Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sprval |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → ( Pairs ‘ 𝑉 ) = { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) |
2 |
|
r2ex |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
3 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) → 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) |
4 |
3
|
2eximi |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) |
5 |
2 4
|
sylbi |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) |
6 |
5
|
ax-gen |
⊢ ∀ 𝑝 ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → ∀ 𝑝 ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
8 |
|
ss2ab |
⊢ ( { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ↔ ∀ 𝑝 ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
9 |
7 8
|
sylibr |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) |
10 |
1 9
|
eqsstrd |
⊢ ( 𝑉 ∈ V → ( Pairs ‘ 𝑉 ) ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) |
11 |
|
fvprc |
⊢ ( ¬ 𝑉 ∈ V → ( Pairs ‘ 𝑉 ) = ∅ ) |
12 |
|
0ss |
⊢ ∅ ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } |
13 |
12
|
a1i |
⊢ ( ¬ 𝑉 ∈ V → ∅ ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) |
14 |
11 13
|
eqsstrd |
⊢ ( ¬ 𝑉 ∈ V → ( Pairs ‘ 𝑉 ) ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } ) |
15 |
10 14
|
pm2.61i |
⊢ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ⊆ { 𝑝 ∣ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 𝑝 = { 𝑎 , 𝑏 } } |