Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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sprsymrelf.p |
⊢ 𝑃 = 𝒫 ( Pairs ‘ 𝑉 ) |
2 |
|
sprsymrelf.r |
⊢ 𝑅 = { 𝑟 ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ∣ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) } |
3 |
|
sprsymrelf.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ) |
4 |
|
rexeq |
⊢ ( 𝑝 = 𝑋 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑋 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ) ) |
5 |
4
|
opabbidv |
⊢ ( 𝑝 = 𝑋 → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑋 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ) |
6 |
|
id |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
elpwi |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝒫 ( Pairs ‘ 𝑉 ) → 𝑋 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ) |
8 |
7 1
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ) |
9 |
|
sprsymrelfvlem |
⊢ ( 𝑋 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑋 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑋 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ) |
11 |
3 5 6 10
|
fvmptd3 |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑋 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ) |