Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sprsymrelf.p |
⊢ 𝑃 = 𝒫 ( Pairs ‘ 𝑉 ) |
2 |
|
sprsymrelf.r |
⊢ 𝑅 = { 𝑟 ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ∣ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) } |
3 |
|
sprsymrelf.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ) |
4 |
|
sprsymrelfvlem |
⊢ ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ) |
5 |
|
prcom |
⊢ { 𝑥 , 𝑦 } = { 𝑦 , 𝑥 } |
6 |
5
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑝 ) → { 𝑥 , 𝑦 } = { 𝑦 , 𝑥 } ) |
7 |
6
|
eqeq2d |
⊢ ( ( ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑝 ) → ( 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ↔ 𝑐 = { 𝑦 , 𝑥 } ) ) |
8 |
7
|
rexbidva |
⊢ ( ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑦 , 𝑥 } ) ) |
9 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ) |
10 |
|
opabidw |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ) |
11 |
9 10
|
bitri |
⊢ ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ) |
12 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
13 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
14 |
|
preq12 |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = 𝑥 ) → { 𝑎 , 𝑏 } = { 𝑦 , 𝑥 } ) |
15 |
14
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = 𝑥 ) → ( 𝑐 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ 𝑐 = { 𝑦 , 𝑥 } ) ) |
16 |
15
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = 𝑥 ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑎 , 𝑏 } ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑦 , 𝑥 } ) ) |
17 |
|
preq12 |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → { 𝑥 , 𝑦 } = { 𝑎 , 𝑏 } ) |
18 |
17
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ↔ 𝑐 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
19 |
18
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑎 , 𝑏 } ) ) |
20 |
19
|
cbvopabv |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } = { 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑎 , 𝑏 } } |
21 |
12 13 16 20
|
braba |
⊢ ( 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑦 , 𝑥 } ) |
22 |
8 11 21
|
3bitr4g |
⊢ ( ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) |
23 |
22
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) |
24 |
4 23
|
jca |
⊢ ( 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) ) |
25 |
1
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ 𝒫 ( Pairs ‘ 𝑉 ) ) |
26 |
|
vex |
⊢ 𝑝 ∈ V |
27 |
26
|
elpw |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝒫 ( Pairs ‘ 𝑉 ) ↔ 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ) |
28 |
25 27
|
bitri |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ⊆ ( Pairs ‘ 𝑉 ) ) |
29 |
|
nfopab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } |
30 |
29
|
nfeq2 |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } |
31 |
|
nfopab2 |
⊢ Ⅎ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } |
32 |
31
|
nfeq2 |
⊢ Ⅎ 𝑦 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } |
33 |
|
breq |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } → ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ) ) |
34 |
|
breq |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } → ( 𝑦 𝑟 𝑥 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) |
35 |
33 34
|
bibi12d |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } → ( ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) ↔ ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) ) |
36 |
32 35
|
ralbid |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) ) |
37 |
30 36
|
ralbid |
⊢ ( 𝑟 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) ) |
38 |
37
|
elrab |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ { 𝑟 ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ∣ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) } ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑦 ↔ 𝑦 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } 𝑥 ) ) ) |
39 |
24 28 38
|
3imtr4i |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ { 𝑟 ∈ 𝒫 ( 𝑉 × 𝑉 ) ∣ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ∀ 𝑦 ∈ 𝑉 ( 𝑥 𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 𝑟 𝑥 ) } ) |
40 |
39 2
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑐 ∈ 𝑝 𝑐 = { 𝑥 , 𝑦 } } ∈ 𝑅 ) |
41 |
3 40
|
fmpti |
⊢ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝑅 |