Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sqdeccom12.a |
⊢ 𝐴 ∈ ℕ0 |
2 |
|
sqdeccom12.b |
⊢ 𝐵 ∈ ℕ0 |
3 |
1 1
|
nn0mulcli |
⊢ ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℕ0 |
4 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
5 |
3 4
|
deccl |
⊢ ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ∈ ℕ0 |
6 |
5 4
|
deccl |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 ∈ ℕ0 |
7 |
6
|
nn0cni |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 ∈ ℂ |
8 |
2 2
|
nn0mulcli |
⊢ ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℕ0 |
9 |
8 4
|
deccl |
⊢ ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ∈ ℕ0 |
10 |
9 4
|
deccl |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ∈ ℕ0 |
11 |
10
|
nn0cni |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ∈ ℂ |
12 |
1
|
nn0cni |
⊢ 𝐴 ∈ ℂ |
13 |
12 12
|
mulcli |
⊢ ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℂ |
14 |
2
|
nn0cni |
⊢ 𝐵 ∈ ℂ |
15 |
14 14
|
mulcli |
⊢ ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℂ |
16 |
|
subadd4 |
⊢ ( ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 ∈ ℂ ∧ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) − ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) − ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ) ) |
17 |
7 11 13 15 16
|
mp4an |
⊢ ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) − ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) − ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ) |
18 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 = ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 |
19 |
15
|
addid2i |
⊢ ( 0 + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ( 𝐵 · 𝐵 ) |
20 |
5 4 8 18 19
|
decaddi |
⊢ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 = ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 |
22 |
13
|
addid2i |
⊢ ( 0 + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( 𝐴 · 𝐴 ) |
23 |
9 4 3 21 22
|
decaddi |
⊢ ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) |
24 |
20 23
|
oveq12i |
⊢ ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) − ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) |
25 |
17 24
|
eqtr2i |
⊢ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) − ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ; ; ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
27 |
2 1
|
nn0mulcli |
⊢ ( 𝐵 · 𝐴 ) ∈ ℕ0 |
28 |
1 2 27
|
numcl |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 |
29 |
3 28
|
deccl |
⊢ ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 |
30 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) = ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) = ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) = ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
33 |
|
eqid |
⊢ ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 = ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 |
34 |
13 15
|
addcomi |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) |
35 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) |
36 |
3 28 8 4 32 33 34 35
|
decadd |
⊢ ( ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ) = ; ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) |
37 |
15 13
|
addcomi |
⊢ ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
38 |
29 8 9 3 30 31 36 37
|
decadd |
⊢ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) + ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ; ; ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
39 |
8 28
|
deccl |
⊢ ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 |
40 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) = ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) |
41 |
|
eqid |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) = ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) |
42 |
|
eqid |
⊢ ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) = ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
43 |
|
eqid |
⊢ ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 = ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 |
44 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) |
45 |
8 28 3 4 42 43 44 35
|
decadd |
⊢ ( ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ) = ; ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) |
46 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
47 |
39 3 5 8 40 41 45 46
|
decadd |
⊢ ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) + ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ; ; ( ( 𝐵 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) + 0 ) ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
48 |
26 38 47
|
3eqtr4i |
⊢ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) + ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) + ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
49 |
29 8
|
deccl |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℕ0 |
50 |
49
|
nn0cni |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℂ |
51 |
9 3
|
deccl |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℕ0 |
52 |
51
|
nn0cni |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℂ |
53 |
39 3
|
deccl |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℕ0 |
54 |
53
|
nn0cni |
⊢ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℂ |
55 |
5 8
|
deccl |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℕ0 |
56 |
55
|
nn0cni |
⊢ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℂ |
57 |
|
addsubeq4com |
⊢ ( ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) + ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) + ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ↔ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ) ) |
58 |
50 52 54 56 57
|
mp4an |
⊢ ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) + ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) + ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ↔ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) ) |
59 |
48 58
|
mpbi |
⊢ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 ( 𝐴 · 𝐴 ) ) |
60 |
|
10nn0 |
⊢ ; 1 0 ∈ ℕ0 |
61 |
60 4
|
deccl |
⊢ ; ; 1 0 0 ∈ ℕ0 |
62 |
61
|
nn0cni |
⊢ ; ; 1 0 0 ∈ ℂ |
63 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
64 |
13 15
|
subcli |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ∈ ℂ |
65 |
62 63 64
|
subdiri |
⊢ ( ( ; ; 1 0 0 − 1 ) · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ; ; 1 0 0 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) − ( 1 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) ) |
66 |
62 13 15
|
subdii |
⊢ ( ; ; 1 0 0 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ; ; 1 0 0 · ( 𝐴 · 𝐴 ) ) − ( ; ; 1 0 0 · ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |
67 |
|
eqid |
⊢ ; ; 1 0 0 = ; ; 1 0 0 |
68 |
3
|
dec0u |
⊢ ( ; 1 0 · ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 |
69 |
13
|
mul02i |
⊢ ( 0 · ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = 0 |
70 |
3 60 4 67 68 69
|
decmul1 |
⊢ ( ; ; 1 0 0 · ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 |
71 |
8
|
dec0u |
⊢ ( ; 1 0 · ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 |
72 |
15
|
mul02i |
⊢ ( 0 · ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = 0 |
73 |
8 60 4 67 71 72
|
decmul1 |
⊢ ( ; ; 1 0 0 · ( 𝐵 · 𝐵 ) ) = ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 |
74 |
70 73
|
oveq12i |
⊢ ( ( ; ; 1 0 0 · ( 𝐴 · 𝐴 ) ) − ( ; ; 1 0 0 · ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) |
75 |
66 74
|
eqtri |
⊢ ( ; ; 1 0 0 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) |
76 |
64
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) |
77 |
75 76
|
oveq12i |
⊢ ( ( ; ; 1 0 0 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) − ( 1 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) − ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |
78 |
65 77
|
eqtri |
⊢ ( ( ; ; 1 0 0 − 1 ) · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) 0 0 − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) 0 0 ) − ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |
79 |
25 59 78
|
3eqtr4i |
⊢ ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ) = ( ( ; ; 1 0 0 − 1 ) · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |
80 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐴 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝐴 ) |
81 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
82 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐵 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐵 ) |
83 |
1 2 1 2 80 81 82
|
decpmulnc |
⊢ ( ; 𝐴 𝐵 · ; 𝐴 𝐵 ) = ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) |
84 |
14 12
|
mulcli |
⊢ ( 𝐵 · 𝐴 ) ∈ ℂ |
85 |
12 14
|
mulcli |
⊢ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ |
86 |
84 85
|
addcomi |
⊢ ( ( 𝐵 · 𝐴 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
87 |
2 1 2 1 82 86 80
|
decpmulnc |
⊢ ( ; 𝐵 𝐴 · ; 𝐵 𝐴 ) = ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) |
88 |
83 87
|
oveq12i |
⊢ ( ( ; 𝐴 𝐵 · ; 𝐴 𝐵 ) − ( ; 𝐵 𝐴 · ; 𝐵 𝐴 ) ) = ( ; ; ( 𝐴 · 𝐴 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐵 · 𝐵 ) − ; ; ( 𝐵 · 𝐵 ) ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐵 · 𝐴 ) ) ( 𝐴 · 𝐴 ) ) |
89 |
|
9nn0 |
⊢ 9 ∈ ℕ0 |
90 |
89 89
|
deccl |
⊢ ; 9 9 ∈ ℕ0 |
91 |
90
|
nn0cni |
⊢ ; 9 9 ∈ ℂ |
92 |
|
9p1e10 |
⊢ ( 9 + 1 ) = ; 1 0 |
93 |
|
eqid |
⊢ ; 9 9 = ; 9 9 |
94 |
89 92 93
|
decsucc |
⊢ ( ; 9 9 + 1 ) = ; ; 1 0 0 |
95 |
91 63 94
|
addcomli |
⊢ ( 1 + ; 9 9 ) = ; ; 1 0 0 |
96 |
63 91 95
|
mvlladdi |
⊢ ; 9 9 = ( ; ; 1 0 0 − 1 ) |
97 |
96
|
oveq1i |
⊢ ( ; 9 9 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ; ; 1 0 0 − 1 ) · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |
98 |
79 88 97
|
3eqtr4i |
⊢ ( ( ; 𝐴 𝐵 · ; 𝐴 𝐵 ) − ( ; 𝐵 𝐴 · ; 𝐵 𝐴 ) ) = ( ; 9 9 · ( ( 𝐴 · 𝐴 ) − ( 𝐵 · 𝐵 ) ) ) |